微分積分例

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{6}$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 4 + \csc (x)$ および $g (x) = 8 - \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 + \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

総和則では、 $8 - \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4.2

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4.5

掛け算します。

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ステップ 1.4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.4.5.2

$4 + \csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2

$- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.6.3.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2.3

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2.4

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.5

$- \csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.6.3.1.5.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.5.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.2

$- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.6.3.2.1

$\csc^{2} (x) \cot (x)$ から $\csc^{2} (x) \cot (x)$ を引きます。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.2.2

$- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.3.3

$- 8 \csc (x) \cot (x)$ から $4 \csc (x) \cot (x)$ を引きます。

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 1.7

$x = \frac{π}{6}$ で微分係数を求めます。

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.8.1.1

$\csc (\frac{π}{6})$ の厳密値は $2$ です。

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

ステップ 1.8.1.2

$\cot (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

ステップ 1.8.1.3

$12$ に $2$ をかけます。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

ステップ 1.8.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.8.2.1

$\csc (\frac{π}{6})$ の厳密値は $2$ です。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

ステップ 1.8.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

ステップ 1.8.2.3

$8$ から $2$ を引きます。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

ステップ 1.8.2.4

$6$ を $2$ 乗します。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

ステップ 1.8.3

$24$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.1

$12$ を $24 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

ステップ 1.8.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.2.1

$12$ を $36$ で因数分解します。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

ステップ 1.8.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

ステップ 1.8.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ と与えられた点 $(\frac{π}{6}, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$2$ を $- 2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

ステップ 2.3.1.2.3.4

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

ステップ 2.3.1.2.3.5

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.3.6

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{- π}{3}$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.5

掛け算します。

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ステップ 2.3.1.2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.5.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.5.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

ステップ 2.3.1.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

ステップ 2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

ステップ 2.3.3.3

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

ステップ 2.3.3.4

括弧を削除します。

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例