微分積分例

$y = 8 \sin (π x - y)$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 \sin (π x - y))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (π x - y)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x - y$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - y])$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - y])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $π x - y$ で置き換えます。

$8 (\cos (π x - y) \frac{d}{d x} [π x - y])$

ステップ 1.3.3

微分します。

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ステップ 1.3.3.1

総和則では、 $π x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$8 \cos (π x - y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 1.3.3.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \cos (π x - y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cos (π x - y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 1.3.3.4

$π$ に $1$ をかけます。

$8 \cos (π x - y) (π + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 1.3.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$8 \cos (π x - y) (π - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 \cos (π x - y) (π - y')$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 8 \cos (π x - y) (π - y')$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$8 \cos (π x - y) (π - y')$ を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 8 \cos (π x - y) π + 8 \cos (π x - y) (- y')$

ステップ 1.5.1.1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1.2.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$y' = 8 \cos (π x - y) π - 8 \cos (π x - y) y'$

ステップ 1.5.1.1.2.2

$8 \cos (π x - y) π - 8 \cos (π x - y) y'$ の因数を並べ替えます。

$y' = 8 π \cos (π x - y) - 8 y' \cos (π x - y)$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺に $8 y' \cos (π x - y)$ を足します。

$y' + 8 y' \cos (π x - y) = 8 π \cos (π x - y)$

ステップ 1.5.3

$y'$ を $y' + 8 y' \cos (π x - y)$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + 8 y' \cos (π x - y) = 8 π \cos (π x - y)$

ステップ 1.5.3.2

$y'$ を $8 y' \cos (π x - y)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$

ステップ 1.5.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (8 \cos (π x - y))$ で因数分解します。

$y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$

ステップ 1.5.4

$y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$ の各項を $1 + 8 \cos (π x - y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$ の各項を $1 + 8 \cos (π x - y)$ で割ります。

$\frac{y' (1 + 8 \cos (π x - y))}{1 + 8 \cos (π x - y)} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$1 + 8 \cos (π x - y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 + 8 \cos (π x - y))}{1 + 8 \cos (π x - y)} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

ステップ 1.7

$y = 0$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$\frac{8 π \cos (π (1) - y)}{1 + 8 \cos (π (1) - y)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$\frac{8 π \cos (π (1) - (0))}{1 + 8 \cos (π (1) - (0))}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

指数をまとめます。

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ステップ 1.7.3.1.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 π \cos (π - (0))}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{8 π \cos (π + 0)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 π \cos (π)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{8 π (- \cos (0))}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{8 π (- 1 \cdot 1)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 π \cdot - 1}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.3.6

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π - (0))}$

ステップ 1.7.4.2

$π$ から $0$ を引きます。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π)}$

ステップ 1.7.4.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 (- \cos (0))}$

ステップ 1.7.4.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 (- 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.7.4.5

$8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.7.4.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cdot - 1}$

ステップ 1.7.4.5.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 8 π}{1 - 8}$

ステップ 1.7.4.6

$1$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 8 π}{- 7}$

ステップ 1.7.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{8 π}{7}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{8 π}{7}$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = \frac{8 π}{7} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = \frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$\frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 π}{7} x + \frac{8 π}{7} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{8 π}{7}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{8 π}{7} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.3

$\frac{8 π}{7} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{8 π}{7}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{8 π \cdot - 1}{7}$

ステップ 2.3.2.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{- 8 π}{7}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{8 π x}{7} - \frac{8 π}{7}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{8 π}{7} x - \frac{8 π}{7}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例