微分積分例

$f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 5}$ ; $(5, 5)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20 x}{x^{2} - 5}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$20 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x^{2} - 5$ に $1$ をかけます。

$20 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$20 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.9

$20$ と $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $20$ をかけます。

$\frac{- 20 x^{2} + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$20$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 20 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.3

$20$ を $- 20 x^{2} - 100$ で因数分解します。

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ステップ 1.10.3.1

$20$ を $- 20 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{20 (- x^{2}) - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.3.2

$20$ を $- 100$ で因数分解します。

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.3.3

$20$ を $20 (- x^{2}) + 20 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.4

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{20 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.6

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{20 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.7

$- (x^{2} + 5)$ を $- 1 (x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$\frac{20 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.10.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.11

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$- \frac{20 ({(5)}^{2} + 5)}{{({(5)}^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{20 (25 + 5)}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$25$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{20 \cdot 30}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.12.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{20 \cdot 30}{{(25 - 5)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$25$ から $5$ を引きます。

$- \frac{20 \cdot 30}{20^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$20$ を $2$ 乗します。

$- \frac{20 \cdot 30}{400}$

ステップ 1.12.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.12.3.1

$20$ に $30$ をかけます。

$- \frac{600}{400}$

ステップ 1.12.3.2

$600$ と $400$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.2.1

$200$ を $600$ で因数分解します。

$- \frac{200 (3)}{400}$

ステップ 1.12.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.2.2.1

$200$ を $400$ で因数分解します。

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

ステップ 1.12.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

ステップ 1.12.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{3}{2}$ と与えられた点 $(5, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{3}{2} \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2})$

ステップ 2.3.1.5.2

$5$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2}$

ステップ 2.3.1.5.3

$5$ に $3$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2}$

ステップ 2.3.1.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 5 = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5$

ステップ 2.3.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$5$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 10}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$15$ と $10$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{25}{2}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{2} x) + \frac{25}{2}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} x + \frac{25}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例