微分積分例

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{π}{8}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

ステップ 1.4.4

$2$ を $2 x^{2} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

ステップ 1.4.4.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

ステップ 1.4.4.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

ステップ 1.6.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{4}$ と与えられた点 $(1, \frac{π}{8})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{π}{8}$ を足します。

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

ステップ 2.3.3.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

ステップ 2.3.3.6

$- 1$ を $- 1 (2) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

ステップ 2.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

ステップ 2.3.3.8

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例