微分積分例

$f (x) = \frac{64 x}{x^{2} + 64}$ , $(- 4, - \frac{16}{5})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 4$ と $y = - \frac{16}{5}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{64 x}{x^{2} + 64}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 64}]$ です。

$64 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 64}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 64$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$64 \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x^{2} + 64$ に $1$ をかけます。

$64 \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$64 \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64])}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} [64])}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$64 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$64 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$64 \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$64 \frac{x^{2} + 64 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$64 \frac{x^{2} + 64 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$64 \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$64 \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$64 \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.9

$64$ と $\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{64 (- x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{64 (- x^{2}) + 64 \cdot 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $64$ をかけます。

$\frac{- 64 x^{2} + 64 \cdot 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$64$ に $64$ をかけます。

$\frac{- 64 x^{2} + 4096}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.11

$x = - 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{- 64 {(- 4)}^{2} + 4096}{{({(- 4)}^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 64 \cdot 16 + 4096}{{({(- 4)}^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$- 64$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 1024 + 4096}{{({(- 4)}^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.3

$- 1024$ と $4096$ をたし算します。

$\frac{3072}{{({(- 4)}^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{3072}{{(16 + 64)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$16$ と $64$ をたし算します。

$\frac{3072}{80^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$80$ を $2$ 乗します。

$\frac{3072}{6400}$

ステップ 1.12.3

$3072$ と $6400$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.3.1

$256$ を $3072$ で因数分解します。

$\frac{256 (12)}{6400}$

ステップ 1.12.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.3.2.1

$256$ を $6400$ で因数分解します。

$\frac{256 \cdot 12}{256 \cdot 25}$

ステップ 1.12.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{256 \cdot 12}{256 \cdot 25}$

ステップ 1.12.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{25}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $\frac{12}{25}$ と与えられた点 $(- 4, - \frac{16}{5})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{16}{5}) = \frac{12}{25} \cdot (x - (- 4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{12}{25} \cdot (x + 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{16}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{25} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12}{25} x + \frac{12}{25} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{12}{25}$ と $x$ をまとめます。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12}{25} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{12}{25} \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{12}{25}$ と $4$ をまとめます。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12 \cdot 4}{25}$

ステップ 2.3.1.5.2

$12$ に $4$ をかけます。

$y + \frac{16}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{48}{25}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{16}{5}$ を引きます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48}{25} - \frac{16}{5}$

ステップ 2.3.2.2

$- \frac{16}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48}{25} - \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{16}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48}{25} - \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.3.2.3.2

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48}{25} - \frac{16 \cdot 5}{25}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48 - 16 \cdot 5}{25}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

$- 16$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{48 - 80}{25}$

ステップ 2.3.2.5.2

$48$ から $80$ を引きます。

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{- 32}{25}$

ステップ 2.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{12 x}{25} - \frac{32}{25}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{12}{25} x - \frac{32}{25}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例