微分積分例

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = \frac{3}{16}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ を ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.2

${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x^{2} - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 3 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

ステップ 1.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 3 x$ で置き換えます。

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.3.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

ステップ 1.3.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 6$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

ステップ 1.4.3

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

ステップ 1.4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

ステップ 1.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

ステップ 1.4.6

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

ステップ 1.4.7

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.7.1

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.7.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

ステップ 1.4.7.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.7.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

ステップ 1.4.7.2

積の法則を $x (x - 3)$ に当てはめます。

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.8

$- 2 x + 3$ に $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.9

$6$ を $- 2 x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.10

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.11

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.12

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.13

$- (2 x - 3)$ を $- 1 (2 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.4.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.5

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

ステップ 1.6.1.2

$8$ から $3$ を引きます。

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$4$ から $3$ を引きます。

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

ステップ 1.6.2.2

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

ステップ 1.6.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

ステップ 1.6.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.6.3.1

$6$ に $5$ をかけます。

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

ステップ 1.6.3.2

$64$ に $1$ をかけます。

$- \frac{30}{64}$

ステップ 1.6.3.3

$30$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.3.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$- \frac{2 (15)}{64}$

ステップ 1.6.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.3.2.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

ステップ 1.6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

ステップ 1.6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{15}{32}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{15}{32}$ と与えられた点 $(4, \frac{3}{16})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{15}{32}$ をまとめます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{15}{32}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$4$ を $32$ で因数分解します。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

共通因数を約分します。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.5

式を書き換えます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- 15}{8}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

ステップ 2.3.1.2.5

$- 15$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

ステップ 2.3.1.3

$15$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{3}{16}$ を足します。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{15}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{15}{8}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

ステップ 2.3.2.3.2

$8$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$15$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

ステップ 2.3.2.5.2

$30$ と $3$ をたし算します。

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例