微分積分例

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 14}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (t) = t$ および $g (t) = t^{2} + 14$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 14) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 14) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$t^{2} + 14$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 14 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $t^{2} + 14$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14]$ です。

$\frac{t^{2} + 14 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$14$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $14$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- t^{2} + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2}) + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.2

$14$ を $- 1 (- 14)$ に書き換えます。

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.3

$- 1$ を $- (t^{2}) - 1 (- 14)$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4

$- (t^{2} - 14)$ を $- 1 (t^{2} - 14)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$ です。

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$t^{2} - 14 = 0$

ステップ 2.3

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $14$ を足します。

$t^{2} = 14$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{14}$

ステップ 2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \sqrt{14}$

ステップ 2.3.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \sqrt{14}$

ステップ 2.3.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $\frac{t}{t^{2} + 14}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$t = \sqrt{14}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt{14}$ を $t$ に代入します。

$\frac{\sqrt{14}}{{(\sqrt{14})}^{2} + 14}$

ステップ 4.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${\sqrt{14}}^{2}$ を $14$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{14}$ を $14^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

ステップ 4.1.2.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{14}}{14 + 14}$

ステップ 4.1.2.2

$14$ と $14$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{14}}{28}$

ステップ 4.2

$t = - \sqrt{14}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \sqrt{14}$ を $t$ に代入します。

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- \sqrt{14})}^{2} + 14}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{14}$ に当てはめます。

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \sqrt{14}}{1 {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.3

${\sqrt{14}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4

${\sqrt{14}}^{2}$ を $14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{14}$ を $14^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

ステップ 4.2.2.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{- \sqrt{14}}{14 + 14}$

ステップ 4.2.2.1.5

$14$ と $14$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{14}}{28}$

ステップ 4.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{14}}{28}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt{14}, \frac{\sqrt{14}}{28}), (- \sqrt{14}, - \frac{\sqrt{14}}{28})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例