微分積分例

$f (x) = 3 x^{3} - x^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$9 x^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 9 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 9 x^{2}$ です。

$- 4 x^{3} + 9 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 9 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 9 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$- x^{2}$ を $- 4 x^{3} + 9 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2}$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{2} (4 x) + 9 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$- x^{2}$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$- x^{2} (4 x) - x^{2} \cdot - 9 = 0$

ステップ 2.2.3

$- x^{2}$ を $- x^{2} (4 x) - x^{2} (- 9)$ で因数分解します。

$- x^{2} (4 x - 9) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$4 x - 9 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$4 x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 9 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $4 x - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$4 x = 9$

ステップ 2.5.2.2

$4 x = 9$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$4 x = 9$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{9}{4}$

ステップ 2.6

最終解は $- x^{2} (4 x - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{9}{4}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{3} - x^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{3} - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = \frac{9}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{9}{4}$ を $x$ に代入します。

$3 {(\frac{9}{4})}^{3} - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{9}{4}$ に当てはめます。

$3 \frac{9^{3}}{4^{3}} - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$9$ を $3$ 乗します。

$3 \frac{729}{4^{3}} - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$3 (\frac{729}{64}) - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.4

$3 (\frac{729}{64})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.4.1

$3$ と $\frac{729}{64}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 729}{64} - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.4.2

$3$ に $729$ をかけます。

$\frac{2187}{64} - {(\frac{9}{4})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.5

積の法則を $\frac{9}{4}$ に当てはめます。

$\frac{2187}{64} - \frac{9^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.2.2.1.6

$9$ を $4$ 乗します。

$\frac{2187}{64} - \frac{6561}{4^{4}}$

ステップ 4.2.2.1.7

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{2187}{64} - \frac{6561}{256}$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{2187}{64}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{2187}{64} \cdot \frac{4}{4} - \frac{6561}{256}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $256$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.2.3.1

$\frac{2187}{64}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2187 \cdot 4}{64 \cdot 4} - \frac{6561}{256}$

ステップ 4.2.2.3.2

$64$ に $4$ をかけます。

$\frac{2187 \cdot 4}{256} - \frac{6561}{256}$

ステップ 4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2187 \cdot 4 - 6561}{256}$

ステップ 4.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.5.1

$2187$ に $4$ をかけます。

$\frac{8748 - 6561}{256}$

ステップ 4.2.2.5.2

$8748$ から $6561$ を引きます。

$\frac{2187}{256}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\frac{9}{4}, \frac{2187}{256})$

ステップ 5

微分積分 例

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