微分積分例

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ を ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ に書き換えます。

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 6 x - 7$ とします。

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 6 x - 7$ で置き換えます。

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $32$ をかけます。

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 6 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.3.4

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.3.6

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.3.7

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

ステップ 1.1.3.8

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

ステップ 1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1.1

$- 32$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

ステップ 1.1.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

ステップ 1.1.5.2

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ です。

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

ステップ 2.3

$2 x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 6 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$2 x = 6$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{2}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.3.1

$6$ を $2$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 2.4

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分子を0に等しくします。

$32 = 0$

ステップ 2.4.2.2

$32 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.5

最終解は $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 7$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $- 6$ です。

$- 7, 1$

ステップ 3.2.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

積の法則を $(x - 7) (x + 1)$ に当てはめます。

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.3

${(x - 7)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

${(x - 7)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 7)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ について ${(x - 7)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 3.2.3.2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 3.2.4

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.4.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.2.4.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.2.5

最終解は ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, - 1$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 7$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

ステップ 4.1.2.1.3

$9$ から $18$ を引きます。

$\frac{32}{- 9 - 7}$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 9$ から $7$ を引きます。

$\frac{32}{- 16}$

ステップ 4.1.2.2

$32$ を $- 16$ で割ります。

$- 2$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{32}{7 - 7}$

ステップ 4.2.2.2.2

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{32}{0}$

ステップ 4.2.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{32}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

$x = 7$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$7$ を $x$ に代入します。

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 6$ に $7$ をかけます。

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

ステップ 4.3.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$49$ から $42$ を引きます。

$\frac{32}{7 - 7}$

ステップ 4.3.2.2.2

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{32}{0}$

ステップ 4.3.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{32}{0}$

ステップ 4.3.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(3, - 2)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例