微分積分例

$f (x) = x^{2} + \frac{120}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + \frac{120}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{120}{x}$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 120 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $120$ をかけます。

$2 x - 120 x^{- 2}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x - 120 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 120$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x + \frac{- 120}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 x - \frac{120}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{120}{x^{2}}$ です。

$2 x - \frac{120}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.3

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$- \frac{120}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{3} - 120 = 0 x^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{3} - 120 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $120$ を足します。

$2 x^{3} = 120$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $120$ を引きます。

$2 x^{3} - 120 = 0$

ステップ 2.4.3

$2$ を $2 x^{3} - 120$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{3}) - 120 = 0$

ステップ 2.4.3.2

$2$ を $- 120$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 60 = 0$

ステップ 2.4.3.3

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 60$ で因数分解します。

$2 (x^{3} - 60) = 0$

ステップ 2.4.4

$2 (x^{3} - 60) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$2 (x^{3} - 60) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.4.2.1.2

$x^{3} - 60$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 60 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{3} - 60 = 0$

ステップ 2.4.5

方程式の両辺に $60$ を足します。

$x^{3} = 60$

ステップ 2.4.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{60}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{120}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} + \frac{120}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \sqrt[3]{60}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[3]{60}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt[3]{60})}^{2} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

${\sqrt[3]{60}}^{2}$ を $\sqrt[3]{60^{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{60^{2}} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$60$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[3]{3600} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$3600$ を $2^{3} \cdot 450$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1

$8$ を $3600$ で因数分解します。

$\sqrt[3]{8 (450)} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2.1.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

ステップ 4.1.2.1.5

$\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ をかけます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ をかけます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{\sqrt[3]{60} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$\sqrt[3]{60}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1 + 2}}$

ステップ 4.1.2.1.6.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5

${\sqrt[3]{60}}^{3}$ を $60$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.6.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{60}$ を $60^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{(60^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.5.4.1

共通因数を約分します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5.4.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{1}}$

ステップ 4.1.2.1.6.5.5

指数を求めます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60}$

ステップ 4.1.2.1.7

$120$ と $60$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

$60$ を $120 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ で因数分解します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60}$

ステップ 4.1.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.2.1

$60$ を $60$ で因数分解します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 (1)}$

ステップ 4.1.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{2 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{1}$

ステップ 4.1.2.1.7.2.4

$2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.8

${\sqrt[3]{60}}^{2}$ を $\sqrt[3]{60^{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{60^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.9

$60$ を $2$ 乗します。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{3600}$

ステップ 4.1.2.1.10

$3600$ を $2^{3} \cdot 450$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1

$8$ を $3600$ で因数分解します。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{8 (450)}$

ステップ 4.1.2.1.10.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 450}$

ステップ 4.1.2.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt[3]{450} + 2 (2 \sqrt[3]{450})$

ステップ 4.1.2.1.12

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sqrt[3]{450} + 4 \sqrt[3]{450}$

ステップ 4.1.2.2

$2 \sqrt[3]{450}$ と $4 \sqrt[3]{450}$ をたし算します。

$6 \sqrt[3]{450}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} + \frac{120}{0}$

ステップ 4.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt[3]{60}, 6 \sqrt[3]{450})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例