微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 12$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$- x^{2} - 2 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - x^{2} - 2 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- x^{2} - 2 x$ です。

$- x^{2} - 2 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x^{2} - 2 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x^{2} - 2 x = 0$

ステップ 2.2

$- x$ を $- x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- x \cdot x - 2 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x - x \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$- x$ を $- x (x) - x (2)$ で因数分解します。

$- x (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $- x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 12$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 12$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{3} \cdot 0 - {(0)}^{2} - 12$

ステップ 4.1.2.1.2

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{3}) - {(0)}^{2} - 12$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$0 - {(0)}^{2} - 12$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0 - 12$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 12$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 12$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$- 12$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 12$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{3} \cdot - 8 - {(- 2)}^{2} - 12$

ステップ 4.2.2.1.2

$- \frac{1}{3} \cdot - 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$8 (\frac{1}{3}) - {(- 2)}^{2} - 12$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - {(- 2)}^{2} - 12$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{8}{3} - 1 \cdot 4 - 12$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{8}{3} - 4 - 12$

ステップ 4.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4}{1} - 12$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12$

ステップ 4.2.2.2.3

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - 12$

ステップ 4.2.2.2.4

$- 12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 12}{1}$

ステップ 4.2.2.2.5

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.2.2.6

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 4 \cdot 3 - 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 12 - 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.4.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 12 - 36}{3}$

ステップ 4.2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$8$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 4 - 36}{3}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 4$ から $36$ を引きます。

$\frac{- 40}{3}$

ステップ 4.2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{40}{3}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 12), (- 2, - \frac{40}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例