微分積分例

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5.1.2

$x^{2}$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

ステップ 5.3.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

ステップ 6

$x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

ステップ 6.2

$x^{\frac{3}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.7

$3$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.8

$x^{\frac{5}{2}}$ と $2 x^{\frac{3}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

微分積分 例

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