微分積分例

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 1

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ を $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ に書き換えます。

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.1.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.1.3

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.1.4

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

ステップ 4.3.1.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

ステップ 4.3.1.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

ステップ 4.3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

ステップ 4.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.4

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 9.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 9.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

ステップ 11

簡約します。

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

微分積分 例

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