微分積分例

$\frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$

ステップ 1

$\frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$ を関数で書きます。

$f (t) = \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (t)$ は、微分係数 $f (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (t) = \int f (t) d t$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (t) = \int \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{5}{t}}}{t^{2}} d t$

ステップ 5

$u = \frac{5}{t}$ とします。次に $d u = - \frac{5}{t^{2}} d t$ すると、 $1 d u = - \frac{5}{t^{2}} d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = \frac{5}{t}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{5}{t}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t}]$

ステップ 5.1.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{5}{t}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{t}$ を $t^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

ステップ 5.1.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- t^{- 2})$

ステップ 5.1.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 t^{- 2}$

ステップ 5.1.6

簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 5 \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 5.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 5.1.6.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{t^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{t^{2}}$

ステップ 5.1.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{t^{2}}$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{5} e^{u} d u$

ステップ 6

$- \frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 \cdot 5} \int e^{u} d u$

ステップ 7.2

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{15} \int e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{15} (e^{u} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$- \frac{1}{15} e^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\frac{5}{t}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{15} e^{\frac{5}{t}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (t) = \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$ の不定積分です。

$F (t) =$ $- \frac{1}{15} e^{\frac{5}{t}} + C$

微分積分 例

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