微分積分例

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

ステップ 1

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

ステップ 2.1.2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

ステップ 2.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 2.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

積の法則を $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ に当てはめます。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

ステップ 2.5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.4

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例