微分積分例

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2$

ステップ 1

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

ステップ 2.1.3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$4 {(- 0.5)}^{3} - 12 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 0.125 - 12 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $- 0.125$ をかけます。

$- 0.5 - 12 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.4

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$- 0.5 - 12 \cdot 0.25 - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.5

$- 12$ に $0.25$ をかけます。

$- 0.5 - 3 - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.6

$- 0.5$ から $3$ を引きます。

$- 3.5 - 11 \cdot - 0.5 - 2$

ステップ 2.1.3.7

$- 11$ に $- 0.5$ をかけます。

$- 3.5 + 5.5 - 2$

ステップ 2.1.3.8

$- 3.5$ と $5.5$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.3.9

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2}{2 x + 1}$

ステップ 2.1.5

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 14 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 14 x^{2} - 7 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$11 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} - 7 x - 2$

ステップ 2.1.6

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 11 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (2 x^{2} - 7 x - 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 7 x - 2 = 0$

ステップ 2.3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$2 x^{2} - 7 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x^{2} - 7 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 7 x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x^{2} - 7 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 2$ 、 $b = - 7$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$49$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{4}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{7 + \sqrt{65}}{4}, \frac{7 - \sqrt{65}}{4}$

ステップ 2.5

最終解は $(2 x + 1) (2 x^{2} - 7 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{65}}{4}, \frac{7 - \sqrt{65}}{4}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{65}}{4}, \frac{7 - \sqrt{65}}{4}$

10進法形式：

$x = - 0.5, 3.76556443 \dots, - 0.26556443 \dots$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例