微分積分例

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$ ならば $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ を $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ に書き換えます。

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.2

$\frac{5 x}{2}$ に $1$ をかけます。

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{5 x}{2}$ に $\frac{5 x}{2}$ をかけます。

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.4

$5$ に $5$ をかけます。

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.6

$x$ を $1$ 乗します。

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.9

$2$ に $2$ をかけます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$- \frac{5 x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2.4

式を書き換えます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{5 x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.4.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

ステップ 2.3.1.6

$6$ に $6$ をかけます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

ステップ 2.3.2

$- 15 x$ から $15 x$ を引きます。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 4

$\frac{25}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{25}{4}$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 6.2

$\frac{25}{4}$ と $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 7

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $- 30$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

ステップ 11.2

$1$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

ステップ 11.3

$1$ および $0$ で $36 x$ の値を求めます。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.5

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.6

$25$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.7

$\frac{\frac{25}{3}}{4}$ を積として書き換えます。

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.8

$\frac{25}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.9

$3$ に $4$ をかけます。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.11

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.12.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.13

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.14

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15

$- 30$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16

$- 30$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.16.1

$2$ を $- 30$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.16.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16.2.4

$- 15$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.17

$- 15$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.18

$- 15$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.19

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.20.1

$- 15$ に $12$ をかけます。

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.20.2

$25$ から $180$ を引きます。

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.21

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.22

$36$ に $1$ をかけます。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

ステップ 11.4.23

$- 36$ に $0$ をかけます。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

ステップ 11.4.24

$36$ と $0$ をたし算します。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

ステップ 11.4.25

$36$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

ステップ 11.4.26

$36$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

ステップ 11.4.27

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

ステップ 11.4.28

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.28.1

$36$ に $12$ をかけます。

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

ステップ 11.4.28.2

$- 155$ と $432$ をたし算します。

$V = π (\frac{277}{12})$

ステップ 11.4.29

$π$ と $\frac{277}{12}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

ステップ 11.4.30

$277$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{277 π}{12}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{277 π}{12}$

10進法形式：

$V = 72.51843042 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例