微分積分例

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 7$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ ならば $V = π \int_{1}^{7} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

${\sqrt{x - 1}}^{2}$ を $x - 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$V = x - 1$

ステップ 2.5

簡約します。

$V = x - 1$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{1}^{7} x d x + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + - x]_{1}^{7})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7}$ と $- x]_{1}^{7}$ をまとめます。

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{7}$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$7$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2} - x$ の値を求めます。

$V = π ((\frac{7^{2}}{2} - 1 \cdot 7) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2

簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$7$ を $2$ 乗します。

$V = π (\frac{49}{2} - 1 \cdot 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$V = π (\frac{49}{2} - 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.3

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$V = π (\frac{49}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.4

$- 7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{49}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{49 - 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.2.6.1

$- 7$ に $2$ をかけます。

$V = π (\frac{49 - 14}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.6.2

$49$ から $14$ を引きます。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.2.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

ステップ 7.2.2.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 7.2.2.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

ステップ 7.2.2.11

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

ステップ 7.2.2.12

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.2.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

ステップ 7.2.2.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{- 1}{2})$

ステップ 7.2.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.2.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (\frac{35}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

ステップ 7.2.2.15

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.2.16

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{35 + 1}{2})$

ステップ 7.2.2.17

$35$ と $1$ をたし算します。

$V = π (\frac{36}{2})$

ステップ 7.2.2.18

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.18.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2})$

ステップ 7.2.2.18.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.18.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

ステップ 7.2.2.18.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

ステップ 7.2.2.18.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{18}{1})$

ステップ 7.2.2.18.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$V = π \cdot 18$

ステップ 7.2.2.19

$18$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 18 π$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = 18 π$

10進法形式：

$V = 56.54866776 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例