微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{4}$ , $x = 3$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \frac{x^{2}}{4}$ ならば $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{x^{2}}{4}$ に当てはめます。

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

ステップ 2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$V = \frac{x^{4}}{16}$

ステップ 3

$\frac{1}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{16}$ と $π$ をまとめます。

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ および $0$ で $\frac{1}{5} x^{5}$ の値を求めます。

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $5$ 乗します。

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{5}$ と $243$ をまとめます。

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

ステップ 6.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

ステップ 6.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

ステップ 6.2.5

$0$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

ステップ 6.2.6

$\frac{243}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{243}{5}$

ステップ 6.2.7

$\frac{π}{16}$ に $\frac{243}{5}$ をかけます。

$V = \frac{π \cdot 243}{16 \cdot 5}$

ステップ 6.2.8

$16$ に $5$ をかけます。

$V = \frac{π \cdot 243}{80}$

ステップ 6.2.9

$243$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{243 π}{80}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{243 π}{80}$

10進法形式：

$V = 9.54258768 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例