微分積分例

$x = y^{2}$ , $x = 2 y$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (y)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (y) = 2 y$ および $g (y) = y^{2}$ ならば $V = π \int_{0}^{2} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$V = 2^{2} y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$V = 4 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.3

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 4 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = 4 y^{2} - y^{4}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{2} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y^{4} d y)$

ステップ 4

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$V = π (4 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y^{4} d y)$

ステップ 5

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y^{4} d y)$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y^{4} d y)$

ステップ 7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y^{4} d y)$

ステップ 8

べき乗則では、 $y^{4}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{5} y^{5}$ です。

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{2}))$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{5}$ と $y^{5}$ をまとめます。

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{2}))$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ および $0$ で $\frac{y^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{2}))$

ステップ 9.2.2

$2$ および $0$ で $\frac{y^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3

簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (4 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (4 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.5

$\frac{8}{3}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (4 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.6

$4$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{4 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.7

$4$ に $8$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.8

$2$ を $5$ 乗します。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

ステップ 9.2.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}))$

ステップ 9.2.3.10

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.10.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

ステップ 9.2.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.10.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}))$

ステップ 9.2.3.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} - 0))$

ステップ 9.2.3.11

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{3} - (\frac{32}{5} + 0))$

ステップ 9.2.3.12

$\frac{32}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{32}{3} - \frac{32}{5})$

ステップ 9.2.3.13

$\frac{32}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5})$

ステップ 9.2.3.14

$- \frac{32}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 9.2.3.15

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.2.3.15.1

$\frac{32}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 9.2.3.15.2

$3$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 9.2.3.15.3

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

ステップ 9.2.3.15.4

$5$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15})$

ステップ 9.2.3.16

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{32 \cdot 5 - 32 \cdot 3}{15})$

ステップ 9.2.3.17

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.3.17.1

$32$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{160 - 32 \cdot 3}{15})$

ステップ 9.2.3.17.2

$- 32$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{160 - 96}{15})$

ステップ 9.2.3.17.3

$160$ から $96$ を引きます。

$V = π (\frac{64}{15})$

ステップ 9.2.3.18

$π$ と $\frac{64}{15}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 64}{15}$

ステップ 9.2.3.19

$64$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{64 π}{15}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{64 π}{15}$

10進法形式：

$V = 13.40412865 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例