微分積分例

$x = 2 \sqrt{7 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 3$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{28}$ ならば $V = π \int_{0}^{9.16515138} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{28})}^{2}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{x^{2}}{28}$ に当てはめます。

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{28^{2}}$

ステップ 2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{28^{2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{28^{2}}$

ステップ 2.4

$28$ を $2$ 乗します。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{784}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{9.16515138} 9 d x + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{784} d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{784} d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} - \int_{0}^{9.16515138} \frac{x^{4}}{784} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{784}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{784}$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} - (\frac{1}{784} \cdot \int_{0}^{9.16515138} x^{4} d x))$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{784} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{9.16515138})$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{784} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138})$

ステップ 8.1.2

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}$ と $\frac{1}{784}$ をまとめます。

$V = π (9 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{784})$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$9.16515138$ および $0$ で $9 x$ の値を求めます。

$V = π ((9 \cdot 9.16515138) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{784})$

ステップ 8.2.2

$9.16515138$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π ((9 \cdot 9.16515138) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3

簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$9$ に $9.16515138$ をかけます。

$V = π (82.4863625 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.2

$- 9$ に $0$ をかけます。

$V = π (82.4863625 + 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.3

$82.4863625$ と $0$ をたし算します。

$V = π (82.4863625 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.4

$9.16515138$ を $5$ 乗します。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.6

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.6.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{784})$

ステップ 8.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{784})$

ステップ 8.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{1}}{784})$

ステップ 8.2.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - 0}{784})$

ステップ 8.2.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} + 0}{784})$

ステップ 8.2.3.8

$\frac{64669.30820721}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (82.4863625 - \frac{\frac{64669.30820721}{5}}{784})$

ステップ 8.2.3.9

$\frac{\frac{64669.30820721}{5}}{784}$ を積として書き換えます。

$V = π (82.4863625 - (\frac{64669.30820721}{5} \cdot \frac{1}{784}))$

ステップ 8.2.3.10

$\frac{64669.30820721}{5}$ に $\frac{1}{784}$ をかけます。

$V = π (82.4863625 - \frac{64669.30820721}{5 \cdot 784})$

ステップ 8.2.3.11

$5$ に $784$ をかけます。

$V = π (82.4863625 - \frac{64669.30820721}{3920})$

ステップ 8.2.3.12

$82.4863625$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3920}{3920}$ を掛けます。

$V = π (82.4863625 \cdot \frac{3920}{3920} - \frac{64669.30820721}{3920})$

ステップ 8.2.3.13

$82.4863625$ と $\frac{3920}{3920}$ をまとめます。

$V = π (\frac{82.4863625 \cdot 3920}{3920} - \frac{64669.30820721}{3920})$

ステップ 8.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{82.4863625 \cdot 3920 - 64669.30820721}{3920})$

ステップ 8.2.3.15

$82.4863625$ に $3920$ をかけます。

$V = π (\frac{323346.54103608 - 64669.30820721}{3920})$

ステップ 8.2.3.16

$323346.54103608$ から $64669.30820721$ を引きます。

$V = π (\frac{258677.23282886}{3920})$

ステップ 8.2.3.17

$π$ と $\frac{258677.23282886}{3920}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 258677.23282886}{3920}$

ステップ 8.2.3.18

$π$ に $258677.23282886$ をかけます。

$V = \frac{812658.4943061}{3920}$

ステップ 9

$812658.4943061$ を $3920$ で割ります。

$V = 207.31084038$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例