微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\ln (4)$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (4 + 0) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{4 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2

$4 + 0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.2

$4$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.3

$4$ を $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.4.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 (1)})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 \cdot 1})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2.4.4

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\ln (4 + x) - \ln (4)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $4 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $4 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{4 + x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4

$- \ln (4)$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \ln (4)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{4 + x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{1}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4} \cdot 1$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 4}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 5.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{0 + 4}$

ステップ 7

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{4}$

微分積分 例

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