微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.2.3.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

ステップ 1.3.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $8$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 1.3.2.1

定数の倍数 $8$ を削除した極限を考えます。

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

ステップ 1.3.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $7 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.5

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $7 + 8 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

ステップ 3.7

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 e^{x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

ステップ 3.9

$0$ と $8 e^{x}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

ステップ 4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

ステップ 5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{- 1}{8}$ の極限値を求めます。

$\frac{- 1}{8}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8}$

微分積分 例

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