微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

ステップ 1.3

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

ステップ 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

ステップ 3.4

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

ステップ 3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

ステップ 3.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

ステップ 3.8.2

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 3.10.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5

因数をまとめます。

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ステップ 5.1

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.2

$\frac{3}{x}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

ステップ 6

約分します。

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ステップ 6.1

$x$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

ステップ 6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

ステップ 6.2.5

$3 x^{- \frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 7.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 7.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 7.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $\sqrt[3]{x}$ に書き換えます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ は $0$ に近づきます。

$3 \cdot 0$

ステップ 9

$3$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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