微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ と $- x$ を並べ替えます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

ステップ 1.3.2

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $11 x^{2} - 2 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x^{2}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.3.3

$2$ に $11$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.5

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.6

$22 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.8

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.9.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

ステップ 3.10

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

ステップ 4

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{22 x - 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

ステップ 4.3

掛け算します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $22$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

ステップ 5

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$- \infty$

微分積分 例

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