微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.6

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.6.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.7.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.2.7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.6

$3 x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + 0}$

ステップ 3.10

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2}}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2}}$

ステップ 5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 6

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 9

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 11.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 11.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

ステップ 12.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

ステップ 12.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4}{1^{2}}$

ステップ 12.1.4

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1^{2}}$

ステップ 12.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

ステップ 12.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

ステップ 12.4

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{3}$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3}$

微分積分 例

微分積分例