微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (9 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\arcsin (9 x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\arcsin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.2

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 9 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $9 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4

積の法則を $9 (x)$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5

$9$ を $2$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.6

$81$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.7

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8

$9$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.10

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{1}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

ステップ 5.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$9 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$9 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

ステップ 5.5

根号の下に極限を移動させます。

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 81 x^{2}}}$

ステップ 5.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

ステップ 5.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

ステップ 5.8

$81$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 5.9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0^{2}}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0}}$

ステップ 7.1.2

$- 81$ に $0$ をかけます。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 7.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$9 \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$9 (\frac{1}{1})$

ステップ 7.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$9 (\frac{1}{1})$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 1$

ステップ 7.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9$

微分積分 例

微分積分例