微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

ステップ 4

$2^{x}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2^{x} \ln (2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 5.1.2

関数 $2^{x - 1}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\ln (2)$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 5.1.2.1

定数の倍数 $\ln (2)$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 5.1.2.2

指数 $x - 1$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x - 1}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 5.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.2

$\ln (2)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{x - 1} \ln (2)$ の微分係数は $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.5

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.12

$2^{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

ステップ 5.4

$2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

ステップ 6

関数 $2^{x - 1}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\ln^{2} (2)$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

定数の倍数 $\ln^{2} (2)$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

ステップ 6.2

指数 $x - 1$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x - 1}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

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