微分積分例

$f (x) = 3 x^{3} - 81 x + 100$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - 81 x + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 81 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 81$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 81 x$ の微分係数は $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 81 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.3.3

$- 81$ に $1$ をかけます。

$9 x^{2} - 81 + \frac{d}{d x} [100]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} - 81 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$9 x^{2} - 81$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 9 x^{2} - 81$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $9 x^{2} - 81$ です。

$9 x^{2} - 81$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{2} - 81 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{2} - 81 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $81$ を足します。

$9 x^{2} = 81$

ステップ 2.3

$9 x^{2} = 81$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$9 x^{2} = 81$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{81}{9}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{81}{9}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{81}{9}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$81$ を $9$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $3, - 3$ です。

$3, - 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 9 {(- 4)}^{2} - 81$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 9 \cdot 16 - 81$

ステップ 5.2.1.2

$9$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 144 - 81$

ステップ 5.2.2

$144$ から $81$ を引きます。

$f' (- 4) = 63$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $63$ です。

$63$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $63$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 81$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 81$

ステップ 6.2.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 81$

ステップ 6.2.2

$0$ から $81$ を引きます。

$f' (0) = - 81$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 81$ です。

$- 81$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $- 81$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 3, 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 9 {(4)}^{2} - 81$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 9 \cdot 16 - 81$

ステップ 7.2.1.2

$9$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 144 - 81$

ステップ 7.2.2

$144$ から $81$ を引きます。

$f' (4) = 63$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $63$ です。

$63$

ステップ 7.3

$x = 4$ で微分係数は $63$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 3), (3, \infty)$ で増加

$(- 3, 3)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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