微分積分例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{3}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 1.1.4.2.2

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{2} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.3.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 6.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 6.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{1}{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $\frac{1}{3}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $\frac{1}{3}$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (0, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

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