微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 9}$ を ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.13

$2$ と $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.14

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.16

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.17

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 5.2.1.2

$1$ と $9$ をたし算します。

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ です。

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ に代入した結果は $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ です。これは負なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。

$(- \infty, \infty)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で減少することは、関数が常に減少しているという意味です。

常に減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例