微分積分例

$f (x) = - x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + 12 x - 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + 12 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{9}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + \frac{9}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$- 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 9}{2} x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $9$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{18}{2} x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.5

$\frac{18}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- 3 x^{2} + \frac{18 x}{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.6

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$2$ を $18 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + \frac{2 (9 x)}{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + \frac{2 (9 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$- 3 x^{2} + \frac{2 (9 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$- 3 x^{2} + \frac{9 x}{1} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.6.2.4

$9 x$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{2} + 9 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.4.3

$12$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$- 3 x^{2} + 9 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 x + 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 9 x + 12$ です。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 9 x + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} + 9 x + 12$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + 9 x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ を $9 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 3$ を $12$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) - 3 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (- 3 x)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 3$ を $- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 (- 4)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 ((x - 4) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 (x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.6

最終解は $- 3 (x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $4, - 1$ です。

$4, - 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) + 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 3 \cdot 4 + 9 (- 2) + 12$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 12 + 9 (- 2) + 12$

ステップ 5.2.1.3

$9$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - 12 - 18 + 12$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 12$ から $18$ を引きます。

$f' (- 2) = - 30 + 12$

ステップ 5.2.2.2

$- 30$ と $12$ をたし算します。

$f' (- 2) = - 18$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 18$ です。

$- 18$

ステップ 5.3

$x = - 2$ で微分係数は $- 18$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \frac{9}{2^{2}} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 (\frac{9}{4}) + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.4

$- 3 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$- 3$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 9}{4} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.4.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 9 (\frac{3}{2}) + 12$

ステップ 6.2.1.6

$9 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.6.1

$9$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2} + 12$

ステップ 6.2.1.6.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27}{2} + 12$

ステップ 6.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 6.2.2.1

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12$

ステップ 6.2.2.3

$12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{12}{1}$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{12}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{12}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2 + 12 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$27$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 + 12 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.4.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 + 48}{4}$

ステップ 6.2.5

数を加えて簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$- 27$ と $54$ をたし算します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 + 48}{4}$

ステップ 6.2.5.2

$27$ と $48$ をたし算します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{75}{4}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $\frac{75}{4}$ です。

$\frac{75}{4}$

ステップ 6.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $\frac{75}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 9 (5) + 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 9 (5) + 12$

ステップ 7.2.1.2

$- 3$ に $25$ をかけます。

$f' (5) = - 75 + 9 (5) + 12$

ステップ 7.2.1.3

$9$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - 75 + 45 + 12$

ステップ 7.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 75$ と $45$ をたし算します。

$f' (5) = - 30 + 12$

ステップ 7.2.2.2

$- 30$ と $12$ をたし算します。

$f' (5) = - 18$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 18$ です。

$- 18$

ステップ 7.3

$x = 5$ で微分係数は $- 18$ です。これは負の値なので、関数は $(4, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, 4)$ で増加

$(- \infty, - 1), (4, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例