微分積分例

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = e^{- 3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x$ とします。

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 3$ を $(x - 4) e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3.4

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.3.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.7.2

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.3.1

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4.3.2

$12 e^{- 3 x}$ と $e^{- 3 x}$ をたし算します。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4.4

項を並べ替えます。

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.4.5

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ です。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.2

$e^{- 3 x}$ を $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$e^{- 3 x}$ を $- 3 x e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.2.2

$e^{- 3 x}$ を $13 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

ステップ 2.2.3

$e^{- 3 x}$ を $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

ステップ 2.4

$e^{- 3 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$e^{- 3 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{- 3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$- 3 x + 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- 3 x + 13$ が $0$ に等しいとします。

$- 3 x + 13 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- 3 x + 13 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$- 3 x = - 13$

ステップ 2.5.2.2

$- 3 x = - 13$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- 3 x = - 13$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 13}{- 3}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{13}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{13}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{13}{3}$ です。

$\frac{13}{3}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{13}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{10}{3}$ で置換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.6

$- 10$ と $\frac{1}{e^{10}}$ をまとめます。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.8

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

ステップ 5.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

ステップ 5.2.1.8.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

ステップ 5.2.1.9

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

ステップ 5.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

ステップ 5.2.1.11

$13$ と $\frac{1}{e^{10}}$ をまとめます。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

ステップ 5.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 10$ と $13$ をたし算します。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{3}{e^{10}}$ です。

$\frac{3}{e^{10}}$

ステップ 5.3

$x = \frac{10}{3}$ で微分係数は $\frac{3}{e^{10}}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, \frac{13}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{13}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(\frac{13}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{16}{3}$ で置換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.6

$- 16$ と $\frac{1}{e^{16}}$ をまとめます。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.8

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

ステップ 6.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

ステップ 6.2.1.8.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

ステップ 6.2.1.9

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

ステップ 6.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

ステップ 6.2.1.11

$13$ と $\frac{1}{e^{16}}$ をまとめます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

ステップ 6.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$- 16$ と $13$ をたし算します。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

ステップ 6.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{3}{e^{16}}$ です。

$- \frac{3}{e^{16}}$

ステップ 6.3

$x = \frac{16}{3}$ で微分係数は $- \frac{3}{e^{16}}$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{13}{3}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{13}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{13}{3})$ で増加

$(\frac{13}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例