微分積分例

$K (t) = \frac{6 t}{t^{2} + 9}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{6 t}{t^{2} + 9}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 9}]$ です。

$6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 9}]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = t^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{(t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 9]}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{(t^{2} + 9) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 9]}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$t^{2} + 9$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{t^{2} + 9 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 9]}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $t^{2} + 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ です。

$6 \frac{t^{2} + 9 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{t^{2} + 9 - t (2 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{t^{2} + 9 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{t^{2} + 9 - t (2 t)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{t^{2} + 9 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{t^{2} + 9 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$t$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{t^{2} + 9 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \frac{t^{2} + 9 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{t^{2} + 9 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$6 \frac{- t^{2} + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.9

$6$ と $\frac{- t^{2} + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6 (- t^{2} + 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10

簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (- t^{2}) + 6 \cdot 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.10.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 6 t^{2} + 6 \cdot 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2.2

$6$ に $9$ をかけます。

$f' (t) = \frac{- 6 t^{2} + 54}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.2

$t$ に関する $K (t)$ の一次導関数は $\frac{- 6 t^{2} + 54}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{- 6 t^{2} + 54}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 6 t^{2} + 54}{{(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 6 t^{2} + 54}{{(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 6 t^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.3

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $54$ を引きます。

$- 6 t^{2} = - 54$

ステップ 2.3.2

$- 6 t^{2} = - 54$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 6 t^{2} = - 54$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 t^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 t^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{- 54}{- 6}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 54$ を $- 6$ で割ります。

$t^{2} = 9$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$t = \pm 3$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = 3$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - 3$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = 3, - 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $3, - 3$ です。

$3, - 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $t$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $t$ を $- 4$ で置換えます。

$K' (- 4) = \frac{- 6 {(- 4)}^{2} + 54}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$K' (- 4) = \frac{- 6 \cdot 16 + 54}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 6$ に $16$ をかけます。

$K' (- 4) = \frac{- 96 + 54}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 96$ と $54$ をたし算します。

$K' (- 4) = \frac{- 42}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$K' (- 4) = \frac{- 42}{{(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$K' (- 4) = \frac{- 42}{25^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$25$ を $2$ 乗します。

$K' (- 4) = \frac{- 42}{625}$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$K' (- 4) = - \frac{42}{625}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{42}{625}$ です。

$- \frac{42}{625}$

ステップ 5.3

$t = - 4$ で微分係数は $- \frac{42}{625}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で減少します。

$K' (t) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $t$ を $0$ で置換えます。

$K' (0) = \frac{- 6 {(0)}^{2} + 54}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$K' (0) = \frac{- 6 \cdot 0 + 54}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$K' (0) = \frac{0 + 54}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ と $54$ をたし算します。

$K' (0) = \frac{54}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$K' (0) = \frac{54}{{(0 + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$K' (0) = \frac{54}{9^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$K' (0) = \frac{54}{81}$

ステップ 6.2.3

$54$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$27$ を $54$ で因数分解します。

$K' (0) = \frac{27 (2)}{81}$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$27$ を $81$ で因数分解します。

$K' (0) = \frac{27 \cdot 2}{27 \cdot 3}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$K' (0) = \frac{27 \cdot 2}{27 \cdot 3}$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$K' (0) = \frac{2}{3}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 6.3

$t = 0$ で微分係数は $\frac{2}{3}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3, 3)$ で増加します。

$K' (t) > 0$ なので $(- 3, 3)$ で増加

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $t$ を $4$ で置換えます。

$K' (4) = \frac{- 6 {(4)}^{2} + 54}{{({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$K' (4) = \frac{- 6 \cdot 16 + 54}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 6$ に $16$ をかけます。

$K' (4) = \frac{- 96 + 54}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 96$ と $54$ をたし算します。

$K' (4) = \frac{- 42}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$K' (4) = \frac{- 42}{{(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$K' (4) = \frac{- 42}{25^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$25$ を $2$ 乗します。

$K' (4) = \frac{- 42}{625}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$K' (4) = - \frac{42}{625}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{42}{625}$ です。

$- \frac{42}{625}$

ステップ 7.3

$t = 4$ で微分係数は $- \frac{42}{625}$ です。これは負の値なので、関数は $(3, \infty)$ で減少します。

$K' (t) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3, 3)$ で増加

$(- \infty, - 3), (3, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例