微分積分例

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{4 x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{4 x}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{4 x}{3}$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{4}{3}$ と $\sin (\frac{4 x}{3})$ をまとめます。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ です。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$\sin (\frac{4 x}{3})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{4 x}{3} = 0$

ステップ 2.3.4

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 2.3.5

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.5.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.3.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

ステップ 2.3.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.7.1

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.1.1.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

$\frac{3}{4} (π - 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x = \frac{3}{4} π$

ステップ 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{3}{4}$ と $π$ をまとめます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.3.8

$\sin (\frac{4 x}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 2.3.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.3.8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{4}{3}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

ステップ 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ は約 $1.\overline{3}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.3.8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.8.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$2 (π) \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.8.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

ステップ 2.3.8.5.3

共通因数を約分します。

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.8.5.4

式を書き換えます。

$π \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.8.6

$π$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{2}$

ステップ 2.3.8.7

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 2.3.9

$\sin (\frac{4 x}{3})$ 関数の周期が $\frac{3 π}{2}$ なので、両方向で $\frac{3 π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{3 π n}{4}$ です。

$\frac{3 π n}{4}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π n}{4} - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 5.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 5.2.2

$4$ と $\frac{3 π n - 4}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

ステップ 5.2.3.1.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

ステップ 5.2.3.2

$3 π n - 4$ を $1$ で割ります。

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ です。

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

ステップ 5.3

$x = \frac{3 π n}{4} - 1$ で微分係数は $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π n}{4} + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 6.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

ステップ 6.2.2

$4$ と $\frac{3 π n + 4}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ を約分します。

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ステップ 6.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

ステップ 6.2.3.1.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

ステップ 6.2.3.2

$3 π n + 4$ を $1$ で割ります。

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ です。

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

ステップ 6.3

$x = \frac{3 π n}{4} + 1$ で微分係数は $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例