微分積分例

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ を ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 9 e^{- 3 x}$ とします。

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 9 e^{- 3 x}$ で置き換えます。

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $20$ をかけます。

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $1 + 9 e^{- 3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ です。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ をたし算します。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

ステップ 1.1.3.5

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 e^{- 3 x}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ です。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

ステップ 1.1.3.6

$9$ に $- 20$ をかけます。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 3 x$ とします。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.1.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.1.5

微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.5.2

$- 3$ に $- 180$ をかけます。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

ステップ 1.1.5.4

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

ステップ 1.1.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ と $540$ をまとめます。

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

ステップ 1.1.6.3.2

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ と $e^{- 3 x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ です。

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$540 e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.3

$540 e^{- 3 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 3 \cdot 1}$ を分母に移動させます。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$9$ と $\frac{1}{e^{3}}$ をまとめます。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

ステップ 5.2.2.5

積の法則を $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ に当てはめます。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

ステップ 5.2.2.6

${(e^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

ステップ 5.2.2.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

ステップ 5.2.3

項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ と $e^{3}$ をまとめます。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

ステップ 5.2.3.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$e^{3}$ を ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ で因数分解します。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

ステップ 5.2.3.2.2

$e^{3}$ を $e^{6}$ で因数分解します。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

ステップ 5.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

ステップ 5.2.3.2.4

式を書き換えます。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

ステップ 5.2.5

$540$ と $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ に代入した結果は $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 8

微分積分 例

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