微分積分例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 4 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 4 x - 4$ です。

$3 x^{2} - 4 x - 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 4$ を $2$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{2}{3}, 2$ です。

$- \frac{2}{3}, 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.6666667$ で置換えます。

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 4 \cdot - 1.6666667 - 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1.6666667$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 4 \cdot - 1.6666667 - 4$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $2.777777\overline{8}$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 4 \cdot - 1.6666667 - 4$

ステップ 5.2.1.3

$- 4$ に $- 1.6666667$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 6.6666668 - 4$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$8.333333\overline{6}$ と $6.6666668$ をたし算します。

$f' (- 1.6666667) = 15.00000046 - 4$

ステップ 5.2.2.2

$15.00000046$ から $4$ を引きます。

$f' (- 1.6666667) = 11.00000046$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $11.00000046$ です。

$11.00000046$

ステップ 5.3

$x = - 1.6666667$ で微分係数は $11.00000046$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{2}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{2}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 0.6666667, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{6}$ で置換えます。

$f' (0.\overline{6}) = 3 {(0.\overline{6})}^{2} - 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f' (0.\overline{6}) = 3 \cdot 0.44444442 - 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0.44444442$ をかけます。

$f' (0.\overline{6}) = 1.33333326 - 4 \cdot 0.\overline{6} - 4$

ステップ 6.2.1.3

$- 4$ に $0.\overline{6}$ をかけます。

$f' (0.\overline{6}) = 1.33333326 - 2.6666666 - 4$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$1.33333326$ から $2.6666666$ を引きます。

$f' (0.\overline{6}) = - 1.\overline{3} - 4$

ステップ 6.2.2.2

$- 1.\overline{3}$ から $4$ を引きます。

$f' (0.\overline{6}) = - 5.\overline{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 5.\overline{3}$ です。

$- 5.\overline{3}$

ステップ 6.3

$x = 0.\overline{6}$ で微分係数は $- 5.\overline{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 0.6666667, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{2}{3}, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 4$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 4$

ステップ 7.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 4 \cdot 3 - 4$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (3) = 3^{3} - 4 \cdot 3 - 4$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3 - 4$

ステップ 7.2.1.3

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 27 - 12 - 4$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$27$ から $12$ を引きます。

$f' (3) = 15 - 4$

ステップ 7.2.2.2

$15$ から $4$ を引きます。

$f' (3) = 11$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $11$ です。

$11$

ステップ 7.3

$x = 3$ で微分係数は $11$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}), (2, \infty)$ で増加

$(- \frac{2}{3}, 2)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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