微分積分例

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ を ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 20 - x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $20 - x - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $20 - x - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $20 - x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.9

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

ステップ 1.1.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

ステップ 1.1.17

簡約します。

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ステップ 1.1.17.1

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17.2

$- 1 - 2 x$ に $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17.5

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 + 2 x = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.3.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ を ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.6.1

$4$ に $20$ をかけます。

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.3.1.1

$- 4$ を $80 - 4 x - 4 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.3.1.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 4.3.3.1.1.1.1

$80$ を移動させます。

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.1.2

$- 4 x$ と $- 4 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.2

$- 4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.3

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.4

$- 4$ を $80$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.5

$- 4$ を $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ で因数分解します。

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

ステップ 4.3.3.1.1.6

$- 4$ を $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ で因数分解します。

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

ステップ 4.3.3.1.2

因数分解。

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ステップ 4.3.3.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.3.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $1$ です。

$- 4, 5$

ステップ 4.3.3.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

ステップ 4.3.3.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

ステップ 4.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 4.3.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.3.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4.3.3.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 4.3.3.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 4.3.3.5

最終解は $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 5$

ステップ 4.4

$\sqrt{20 - x - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$20 - x - x^{2} < 0$

ステップ 4.5

$x$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

不等式を方程式に変換します。

$20 - x - x^{2} = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1

$- 1$ を $20 - x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 4.5.2.1.1.1

$20$ を移動させます。

$- x - x^{2} + 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.1.2

$- x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} - x + 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.4

$20$ を $- 1 (- 20)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

ステップ 4.5.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

ステップ 4.5.2.2

因数分解。

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ステップ 4.5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 4.5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $1$ です。

$- 4, 5$

ステップ 4.5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

ステップ 4.5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

ステップ 4.5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 4.5.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.5.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4.5.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 4.5.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 4.5.6

最終解は $- (x - 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 5$

ステップ 4.5.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 4.5.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 4.5.8.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.5.8.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 4.5.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

ステップ 4.5.8.1.3

左辺 $- 36$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.5.8.2

区間 $- 5 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.5.8.2.1

区間 $- 5 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.5.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

ステップ 4.5.8.2.3

左辺 $20$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.5.8.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.5.8.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 4.5.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

ステップ 4.5.8.3.3

左辺 $- 22$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.5.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 4.5.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > 4$

ステップ 4.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 5)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$1$ から $12$ を引きます。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.1.3

$- 1$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.2

$20$ と $6$ をたし算します。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.3

$26$ から $36$ を引きます。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3

$x = - 6$ で微分係数は $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 5)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 5)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 5, - \frac{1}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2.75$ で置換えます。

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ に $- 2.75$ をかけます。

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$1$ から $5.5$ を引きます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$- 1$ に $- 2.75$ をかけます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$- 2.75$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.1.3

$- 1$ に $7.5625$ をかけます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.2

$20$ と $2.75$ をたし算します。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.3

$22.75$ から $7.5625$ を引きます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.4

$15.1875$ を ${3.89711431}^{2}$ に書き換えます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.2.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.2.2.6.2

式を書き換えます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

ステップ 7.2.2.7

指数を求めます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $3.89711431$ をかけます。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

ステップ 7.2.3.2

$- 4.5$ を $7.79422863$ で割ります。

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

ステップ 7.2.3.3

$- 1$ に $- 0.57735026$ をかけます。

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.57735026$ です。

$0.57735026$

ステップ 7.3

$x = - 2.75$ で微分係数は $0.57735026$ です。これは正の値なので、関数は $(- 5, - \frac{1}{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 5, - \frac{1}{2})$ で増加

ステップ 8

区間 $(- 0.5, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.75$ で置換えます。

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ に $1.75$ をかけます。

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$1$ と $3.5$ をたし算します。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

$- 1$ に $1.75$ をかけます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$1.75$ を $2$ 乗します。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.1.3

$- 1$ に $3.0625$ をかけます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.2

$20$ から $1.75$ を引きます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.3

$18.25$ から $3.0625$ を引きます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.4

$15.1875$ を ${3.89711431}^{2}$ に書き換えます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 8.2.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 8.2.2.6.2

式を書き換えます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

ステップ 8.2.2.7

指数を求めます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$2$ に $3.89711431$ をかけます。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

ステップ 8.2.3.2

$4.5$ を $7.79422863$ で割ります。

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

ステップ 8.2.3.3

$- 1$ に $0.57735026$ をかけます。

$f' (1.75) = - 0.57735026$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.57735026$ です。

$- 0.57735026$

ステップ 8.3

$x = 1.75$ で微分係数は $- 0.57735026$ です。これは負の値なので、関数は $(- 0.5, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{1}{2}, 4)$ で減少

ステップ 9

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2

$1$ と $10$ をたし算します。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2.1.3

$- 1$ に $25$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2.2

$20$ から $5$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2.3

$15$ から $25$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3

$x = 5$ で微分係数は $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ です。これは負の値なので、関数は $(4, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 5, - \frac{1}{2})$ で増加

$(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例