微分積分例

$y = \ln^{3} (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \ln^{3} (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\ln^{3} (y) = x$ として書き換えます。

$\ln^{3} (y) = x$

ステップ 2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$\ln^{3} (y) = x$

ステップ 2.2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

ステップ 2.2.2.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 2.2.2.3

対数の定義を利用して $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

ステップ 2.2.2.4

方程式を $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ として書き換えます。

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ が $f (x) = \ln^{3} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

ステップ 4.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

ステップ 4.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ の値を求めます。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

ステップ 4.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $\sqrt[3]{x}$ を移動します。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

ステップ 4.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

ステップ 4.3.5

$\sqrt[3]{x}$ に $1$ をかけます。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

ステップ 4.3.6

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

ステップ 4.3.6.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

ステップ 4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

ステップ 4.3.6.5

簡約します。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ は $f (x) = \ln^{3} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

微分積分 例

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