微分積分例

${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

ステップ 1

${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.6

$7$ に $1$ をかけます。

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

ステップ 2.4.2

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$ と $0$ をたし算します。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 {(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 {(x + 1)}^{6}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{6}]$ です。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.7

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.2.8

$6$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + \frac{d}{d x} (- 7)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + 0$

ステップ 3.3.2

$42 {(x + 1)}^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.2.6

$7$ に $1$ をかけます。

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 7 {(x + 1)}^{6} - 7$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ です。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

ステップ 6.2

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

二項定理を利用します。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 1 + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

$6$ に $1$ をかけます。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1 + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.3

$15$ に $1$ をかけます。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1 + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.5

$20$ に $1$ をかけます。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1 + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.7

$15$ に $1$ をかけます。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1 + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.9

$6$ に $1$ をかけます。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1^{6}) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.2.10

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1) - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$7 x^{6} + 7 (6 x^{5}) + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$6$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4.2

$15$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4.3

$20$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4.4

$15$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4.5

$6$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

ステップ 6.2.1.4.6

$7$ に $1$ をかけます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7 = 0$

ステップ 6.2.2

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$7$ から $7$ を引きます。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 0 = 0$

ステップ 6.2.2.2

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x$ と $0$ をたし算します。

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x = 0$

ステップ 6.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 2, 0$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 2, 0$

ステップ 9

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$42 {((- 2) + 1)}^{5}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$42 {(- 1)}^{5}$

ステップ 10.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$42 \cdot - 1$

ステップ 10.3

$42$ に $- 1$ をかけます。

$- 42$

ステップ 11

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 12

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 2) = {(- 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ を $7$ 乗します。

$f (- 2) = - 1 - 7 \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2.1.3

$- 7$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 1 + 14 - 3$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$- 1$ と $14$ をたし算します。

$f (- 2) = 13 - 3$

ステップ 12.2.2.2

$13$ から $3$ を引きます。

$f (- 2) = 10$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $10$ です。

$y = 10$

ステップ 13

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$42 {((0) + 1)}^{5}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$42 \cdot 1^{5}$

ステップ 14.2

1のすべての数の累乗は1です。

$42 \cdot 1$

ステップ 14.3

$42$ に $1$ をかけます。

$42$

ステップ 15

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 16

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {((0) + 1)}^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

ステップ 16.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (0) = 1 - 7 \cdot 0 - 3$

ステップ 16.2.1.3

$- 7$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 1 + 0 - 3$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 1 - 3$

ステップ 16.2.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (0) = - 2$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 17

$f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ の極値です。

$(- 2, 10)$ は極大値です

$(0, - 2)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例