微分積分例

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

ステップ 1

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ を関数で書きます。

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{4}{x}$ を引きます。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $y$ を足します。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $\frac{9}{y}$ を足します。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

ステップ 3

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.4.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.5.2

$\frac{9}{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{9}{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 3.5.3

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

ステップ 3.6.2

項をまとめます。

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ステップ 3.6.2.1

$4$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

ステップ 3.6.2.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

ステップ 3.6.2.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

ステップ 3.6.2.4

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

ステップ 3.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

ステップ 4

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.2.10

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.1.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ に行列の各要素を掛けます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.3

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.3.1.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$f$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ と $y$ をまとめます。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.5.2

項をまとめます。

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ステップ 4.5.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.5.2.3

$- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

ステップ 5

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

ステップ 6

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 7

極値がありません

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例