微分積分例

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

ステップ 1

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ を関数で書きます。

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $16 x$ を足します。

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

ステップ 3

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $f (x, y) - x y - y + 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.4

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

ステップ 3.5.3

$16$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

ステップ 4

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.1.2

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{x}$ に行列の各要素を掛けます。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.3.1.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$f$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ と $y$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 4.3

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$0$ と $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 4.4.2

$\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

ステップ 5

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

ステップ 6

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

総和則では、 $f (x, y) - x y - y + 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.4

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 6.1.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

ステップ 6.1.5.3

$16$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

ステップ 6.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

ステップ 6.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

ステップ 6.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ です。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

ステップ 7

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

ステップ 7.2.1.2

式を書き換えます。

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{x}$ に行列の各要素を掛けます。

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

ステップ 7.2.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

ステップ 7.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

ステップ 7.2.3.1.3

式を書き換えます。

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$f$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

ステップ 7.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ と $y$ をまとめます。

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

ステップ 7.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

ステップ 8

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{d}{d x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$d x = 0$

ステップ 8.2

$d x = 0$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$d x = 0$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

ステップ 8.2.2.1.2

$d$ を $1$ で割ります。

$d = \frac{0}{x}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$0$ を $x$ で割ります。

$d = 0$

ステップ 8.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$y = 0$

ステップ 9

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 10

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$d$ に $0$ をかけます。

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

ステップ 11.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 12

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例