微分積分例

$f (x, y) = {(x - 1)}^{2} + y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

ステップ 1

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$ を関数で書きます。

$f (x) = f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から ${(x - 1)}^{2}$ を引きます。

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} = y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $y^{3}$ を引きます。

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} = - 3 y^{2} - 9 y + 5$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $3 y^{2}$ を足します。

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} = - 9 y + 5$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $9 y$ を足します。

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y = 5$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$f (x, y) - ((x - 1) (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x, y) - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f (x, y) - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f (x, y) - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) - (x^{2} - x - x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f (x, y) - (x^{2} - 2 x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x, y) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

ステップ 3.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

ステップ 4

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.5.2

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.5.3

$9 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 4.5.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

ステップ 4.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

ステップ 4.6.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

ステップ 4.6.1.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

ステップ 4.6.1.4

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

ステップ 4.6.2

項を並べ替えます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

ステップ 5

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.1.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{x}$ に行列の各要素を掛けます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.3.1.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$f$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ と $y$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

ステップ 5.4.2

$- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

ステップ 6

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

ステップ 7

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

$- y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.5.2

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.5.3

$9 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 7.1.5.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

ステップ 7.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

ステップ 7.1.6.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

ステップ 7.1.6.1.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

ステップ 7.1.6.1.4

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

ステップ 7.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

ステップ 7.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ です。

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$

ステップ 8

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

ステップ 9

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d}{d x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$d x = 0$

ステップ 9.2

$d x = 0$ の各項を $d$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$d x = 0$ の各項を $d$ で割ります。

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{d}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$0$ を $d$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 10

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 11

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$d$ に $0$ をかけます。

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

ステップ 12.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 13

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例