微分積分例

$y = x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.2.5.2

$7$ から $2$ を引きます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 35$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 35 x^{2}$ の微分係数は $- 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 (2 x)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 35$ をかけます。

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 70 x$

ステップ 1.4

$\frac{7}{2}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{7}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.8

$\frac{7}{2}$ に $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{7 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.9

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.2.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 70 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 70$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 70 x$ の微分係数は $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 70$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{35}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}$ の微分係数は $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.8

$\frac{35}{4}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{35 (3 x^{\frac{1}{2}})}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.9

$3$ に $35$ をかけます。

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.2.10

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{d}{d x} [- 70]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 70$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 70$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + 0$

ステップ 3.3.2

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = \frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$

微分積分 例

微分積分例