微分積分例

$y = 4 x e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 1.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$4 (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$4 (x e^{x}) + 4 e^{x}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$4 e^{x} x + 4 e^{x}$

ステップ 1.5.3

$4 e^{x} x + 4 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 4 x e^{x} + 4 e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x e^{x} + 4 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.2.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$4 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$4 (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$4 (x e^{x}) + 4 e^{x} + 4 e^{x}$

ステップ 2.4.2

$4 e^{x}$ と $4 e^{x}$ をたし算します。

$4 x e^{x} + 8 e^{x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$4 e^{x} x + 8 e^{x}$

ステップ 2.4.4

$4 e^{x} x + 8 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 4 x e^{x} + 8 e^{x}$

微分積分 例

微分積分例