微分積分例

$z = {(3 x + 1)}^{4} {(5 x - 2)}^{3}$

ステップ 1

$f (z) = {(3 x + 1)}^{4}$ および $g (z) = {(5 x - 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x - 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.2

$5$ を $3$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.3

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.4

$5$ を $2$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.5

$25$ に $3$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.6

$- 2$ に $75$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.7

$5$ に $3$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.8

$- 2$ を $2$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.9

$4$ に $15$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 3.10

$- 2$ を $3$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 4

$125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ の微分係数は $0$ です。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

ステップ 5

二項定理を利用します。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.2

$3$ を $4$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.3

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.4

$3$ を $3$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.5

$27$ に $4$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.6

$108$ に $1$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.7

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.8

$3$ を $2$ 乗します。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.9

$9$ に $6$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.10

1のすべての数の累乗は1です。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1 + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.11

$54$ に $1$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.12

$3$ に $4$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

ステップ 6.13

1のすべての数の累乗は1です。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{4}]$

ステップ 6.14

$12$ に $1$ をかけます。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1^{4}]$

ステップ 6.15

1のすべての数の累乗は1です。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1]$

ステップ 7

$81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ の微分係数は $0$ です。

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

ステップ 8

項をまとめます。

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ステップ 8.1

${(3 x + 1)}^{4}$ に $0$ をかけます。

$0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

ステップ 8.2

${(5 x - 2)}^{3}$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 8.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

微分積分 例

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