微分積分例

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$x \sin (\frac{1}{x})$ を $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.2

$\cos (\frac{1}{x})$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 2.3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

ステップ 2.3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

ステップ 2.5

因数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 2.5.2

$\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.6.2

$\cos (\frac{1}{x})$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

ステップ 3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\cos (0)$

ステップ 5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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