微分積分例

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{2}{15} k + 1) \frac{2}{15}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{2}{15}$ と $k$ をまとめます。

$(\frac{2 k}{15} + 1) \frac{2}{15}$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15} + 1 (\frac{2}{15})$

ステップ 1.3

$\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{2 k}{15}$ に $\frac{2}{15}$ をかけます。

$\frac{2 k \cdot 2}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

ステップ 1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 k}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

ステップ 1.3.3

$15$ に $15$ をかけます。

$\frac{4 k}{225} + 1 (\frac{2}{15})$

ステップ 1.4

$\frac{2}{15}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

ステップ 1.5

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和から因数 $\frac{4}{225}$ をくくり出します。

$(\frac{4}{225}) \sum_{k = 1}^{30} k$

ステップ 3.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{4}{225}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{225} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 3.4.1.2

$30$ に $31$ をかけます。

$\frac{4}{225} \cdot \frac{930}{2}$

ステップ 3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{225} \cdot \frac{930}{2}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{225} \cdot \frac{930}{2}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{225} \cdot 930$

ステップ 3.4.3

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$15$ を $225$ で因数分解します。

$\frac{2}{15 (15)} \cdot 930$

ステップ 3.4.3.2

$15$ を $930$ で因数分解します。

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

ステップ 3.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

ステップ 3.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{2}{15} \cdot 62$

ステップ 3.4.4

$\frac{2}{15}$ と $62$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 62}{15}$

ステップ 3.4.5

$2$ に $62$ をかけます。

$\frac{124}{15}$

ステップ 4

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 4.2

値を公式に代入します。

$(\frac{2}{15}) (30)$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$15$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{2}{15} (15 (2))$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{15} (15 \cdot 2)$

ステップ 4.3.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 2$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$\frac{124}{15} + 4$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$\frac{124}{15} + 4 \cdot \frac{15}{15}$

ステップ 6.2

$4$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$\frac{124}{15} + \frac{4 \cdot 15}{15}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{124 + 4 \cdot 15}{15}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$4$ に $15$ をかけます。

$\frac{124 + 60}{15}$

ステップ 6.4.2

$124$ と $60$ をたし算します。

$\frac{184}{15}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{184}{15}$

10進法形式：

$12.2\overline{6}$

帯分数形：

$12 \frac{4}{15}$

微分積分 例

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