微分積分例

$\cos (π x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \sin (π x) π$

ステップ 1.1.2.3.2

$- \sin (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - π \sin (π x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- π \sin (π x)$ です。

$- π \sin (π x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- π \sin (π x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- π \sin (π x) = 0$

ステップ 2.2

$- π \sin (π x) = 0$ の各項を $- π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- π \sin (π x) = 0$ の各項を $- π$ で割ります。

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 2.2.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 2.2.2.2.2

$\sin (π x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $- π$ で割ります。

$\sin (π x) = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$π x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π x = 0$

ステップ 2.5

$π x = 0$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$π x = 0$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{π}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$0$ を $π$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$π x = π - 0$

ステップ 2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.7.1

簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π x = π + 0$

ステップ 2.7.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π x = π$

ステップ 2.7.2

$π x = π$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$π x = π$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

ステップ 2.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{π}$

ステップ 2.7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{π}{π}$

ステップ 2.7.2.3.1.2

式を書き換えます。

$x = 1$

ステップ 2.8

$\sin (π x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $π$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| π |}$

ステップ 2.8.3

$π$ は約 $3.14159265$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.8.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.8.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 2.9

$\sin (π x)$ 関数の周期が $2$ なので、両方向で $2$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 n, 1 + 2 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.10

答えをまとめます。

$x = 1 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\cos (π x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\cos (π (0))$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 4.1.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\cos (π (1))$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\cos (π)$

ステップ 4.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (0)$

ステップ 4.2.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 n, 1), (1 + 2 n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

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