微分積分例

$- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ および $g (x) = x^{2} - 24 x + 80$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 24 x + 80$ とします。

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 24 x + 80$ で置き換えます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.6.2

$4$ から $5$ を引きます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.8

$\frac{4}{5}$ と ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ をまとめます。

$- 5 (\frac{4 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ を分母に移動させます。

$- 5 (\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

ステップ 1.1.10

$\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot - 5}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.11

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 20}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.12

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.13.1

$5$ を $5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 ({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.13.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

ステップ 1.1.15

総和則では、 $x^{2} - 24 x + 80$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80]$ です。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

ステップ 1.1.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

ステップ 1.1.17

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

ステップ 1.1.18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

ステップ 1.1.19

$- 24$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [80])$

ステップ 1.1.20

$80$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $80$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + 0)$

ステップ 1.1.21

$2 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$

ステップ 1.1.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.1

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.2

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.4

$- 1$ に $- 24$ をかけます。

$(- 2 x + 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.5

$- 2 x + 24$ に $\frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.6.1

$2$ を $- 2 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.22.6.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.6.1.2

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 2 (12)) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.6.1.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (12)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 12) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 (- x + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x) + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.8

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.9

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.10

$- (x - 12)$ を $- 1 (x - 12)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.1.22.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ です。

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$8 (x - 12) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$8 (x - 12) = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$8 (x - 12) = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x - 12$ を $1$ で割ります。

$x - 12 = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x - 12 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$

ステップ 3.2

$\frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $5$ 乗します。

${\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}^{5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}$ を ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{1} = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 24 x + 80 = 0^{5}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 24 x + 80 = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 24 x + 80$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $80$ で、その和が $- 24$ です。

$- 20, - 4$

ステップ 3.3.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 20) (x - 4) = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 20 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.3.3

$x - 20$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$x - 20$ が $0$ に等しいとします。

$x - 20 = 0$

ステップ 3.3.3.3.2

方程式の両辺に $20$ を足します。

$x = 20$

ステップ 3.3.3.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.3.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.3.3.5

最終解は $(x - 20) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 20, 4$

ステップ 3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 4, x = 20$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 12$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$12$ を $x$ に代入します。

$- 5 {({(12)}^{2} - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$- 5 {(144 - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 24$ に $12$ をかけます。

$- 5 {(144 - 288 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$144$ から $288$ を引きます。

$- 5 {(- 144 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 144$ と $80$ をたし算します。

$- 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$- 5 {({(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- 5 {(16 - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 24$ に $4$ をかけます。

$- 5 {(16 - 96 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$16$ から $96$ を引きます。

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$- 80$ と $80$ をたし算します。

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2.2.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

ステップ 4.2.2.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

ステップ 4.2.2.2.3.2

式を書き換えます。

$- 5 \cdot 0^{4}$

ステップ 4.2.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 5 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.2.4.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

$x = 20$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$20$ を $x$ に代入します。

$- 5 {({(20)}^{2} - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$20$ を $2$ 乗します。

$- 5 {(400 - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 24$ に $20$ をかけます。

$- 5 {(400 - 480 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$400$ から $480$ を引きます。

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$- 80$ と $80$ をたし算します。

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

ステップ 4.3.2.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

ステップ 4.3.2.2.3.2

式を書き換えます。

$- 5 \cdot 0^{4}$

ステップ 4.3.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 5 \cdot 0$

ステップ 4.3.2.2.4.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(12, - 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}), (4, 0), (20, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例